घातांक और करणी MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Surds and Indices - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

42^0.66 = x, 42^0.65 = y, और x^z = y⁴

गणना:

x और y को 42 के पदों में व्यक्त कीजिए:

x = 42^0.66

y = 42^0.65

दिए गए समीकरण x^z = y⁴ में x और y को प्रतिस्थापित कीजिए:

(42^0.66)^z = (42^0.65)⁴

घातांक को सरल कीजिए:

42^0.66z = 42^2.6

42 की घातों को बराबर कीजिए:

0.66z = 2.6

z के लिए हल कीजिए:

z = 2.6 / 0.66

z ≈ 3.94

z का अनुमानित मान 3.94 है।

दिया गया है:

\(\dfrac{27×3^n-3×3^{n+1}}{81×3^{n+1}-9×3^{n+2}}\)

प्रयुक्त सूत्र:

a^m × aⁿ = a^{m + n}

am ÷ an = am - n

गणना:

\(\dfrac{27×3^n-3×3^{n+1}}{81×3^{n+1}-9×3^{n+2}}\)

⇒ \(\rm \dfrac{3^3×3^n-3^1×3^{n+1}}{3^4× 3^{n+1}-3^2×3^{n+2}}\) 

⇒ \(\rm \dfrac{3^{3+n}-3^{n+2}}{3^{n+5}-3^{n+4}}\)

⇒ \(\rm \dfrac{3^{n+2}\times(3-1)}{3^{n+4}\times(3-1)}\) 

⇒ \(\rm \dfrac{3^{n+2}}{3^2× 3^{n+2}}\) = \(\dfrac{1}{9}\)

∴ उत्तर \(\dfrac{1}{9}\) है। 

दिया गया है:

3√5 + \(√{125}\) = 17.88

गणना:

3√5 + \(√{125}\) = 17.88

⇒ 3√5 + 5√5 = 17.88

⇒ 8√5 = 17.88

अब दिए गए मान को हल करने पर,

⇒ √80 + 6√5 = √(16 × 5) + 6√5

⇒ 4√5 + 6√5 = 10√5

तो मूल रूप से, हमें 10√5 का मान ज्ञात करने की आवश्यकता है।

चूँकि 10√5 को निम्नानुसार लिखा जा सकता है;

⇒ 10√5 = 8√5 × \(\frac{10√ 5}{{8√5}}\)

⇒ 10√5 = (17.88 × \(\frac{10√ 5}{{8√5}}\))       (∵ 8√5 = 17.88)

⇒ 10√5 = (17.88 × \(\frac{5}{{4}}\)) 

⇒ 10√5 = 22.35

∴ अभीष्ट मान 22.35 है।

दिया गया है:

\(\frac{\sqrt {2}+1}{\sqrt {2}-1}=a+b\sqrt 2\)

गणना:

⇒ \(\frac{\sqrt {2}+1}{\sqrt {2}-1}=a+b\sqrt 2\)

⇒ \(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \times \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}\) = \(a + b\sqrt{2}\)

⇒ \(\frac{(\sqrt{2}+1)^2}{2-1}\) = \(a + b\sqrt{2}\)

⇒ \(2+1+2\sqrt{2}\) = \(a + b\sqrt{2}\)

⇒ \(3+2\sqrt{2}\) = \(a + b\sqrt{2}\)

∴ a = 3 और b = 2;

अतः सही उत्तर विकल्प 3 है।

दिया गया है:

\(\rm x = \frac{{\sqrt 5 - 2}}{{\sqrt 5 + 2}}\)

प्रयुक्त सूत्र:

यदि x + 1/x = a है, तो x² + 1/x² = a² - 2

गणना:

⇒ \(\rm x = \frac{{\sqrt 5 - 2}}{{\sqrt 5 + 2}}\)

⇒ \(\rm \frac{1}{x} = \frac{{\sqrt 5 + 2}}{{\sqrt 5 - 2}}\)

⇒ x + 1/x = \(\frac{{\sqrt 5 - 2}}{{\sqrt 5 + 2}} + \frac{{\sqrt 5 + 2}}{{\sqrt 5 - 2}}\)

⇒ x + 1/x = \(\frac{(\sqrt 5 - 2)^2 + (\sqrt 5 + 2)^2}{(\sqrt 5 + 2)(\sqrt 5 - 2)}\)

⇒ x + 1/x = 18

⇒ x2 + 1/x2 = a2 - 2

⇒ x2 + 1/x² = 18² - 2

⇒ 322

∴ सही उत्तर विकल्प 4 है।

उपयोग किया गया सूत्र:

(a + b) ² = a ² + b ² + 2ab

गणना:

दिया गया व्यंजक है:

​\(\sqrt {8\; + \;2\sqrt {15} \;} \)​​​

⇒ \(\sqrt {5\; + \;3\; + \;2\times \sqrt 5 \times \sqrt 3 \;} \)

⇒  \(\sqrt {{{(\sqrt 5 )}^2}\; + \;{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}\; + \;2 \times \sqrt 5 \times \sqrt 3 \;} \)

⇒  \(\sqrt {{{\left( {\;\sqrt 5 \; + \;\sqrt 3 \;} \right)}^2}\;} \)

⇒  \(\sqrt 5 + \sqrt 3 \)

संकल्पना:

हम गुणनखंडन विधि का प्रयोग करके √x ज्ञात कर सकते हैं

गणणा:

√[(10 + √25) (12 - √49)]

⇒ √[(10 + 5)(12 – 7)]

⇒ √(15 × 5)

⇒ √(3 × 5 × 5)

⇒ 5√3

दिया गया है,

2³ × 3⁴ × 1080 ÷ 15 = 6^x

⇒ 2³ × 3⁴ × 72 = 6^x

⇒ 2³ × 3⁴ × (2 × 6²) = 6^x

⇒ 2⁴ × 3⁴ × 6² = 6^x

⇒ (2 × 3)⁴ × 6² = 6^x           [∵ x^m × y^m = (xy)^m]

⇒ 6⁴ × 6² = 6^x

⇒ 6^{(4 + 2)} = 6^x

⇒ x = 6

दिया गया है:

√3n = 729

प्रयुक्त सूत्र:

(x^a)^b = x^ab

यदि x^a = x^b है तब a = b 

गणना:

√3n = 729

⇒ √3n = (3²)³

⇒ (3n)^1/2 = (32)3

⇒ (3n)1/2 = 3⁶

⇒ n/2 = 6 

∴  n = 12 

विधि I: (3 + 2√5)²

= (3² + (2√5)² + 2 × 3 × 2√5)

= 9 + 20 + 12√5 = 29 + 12√5

तुलना करने पर, 29 + 12√5 = 29 + K√5

हमें मिलता है,

K = 12

Alternate Method 

29 + 12√5 = 29 + K√5

⇒ K√5 = 29 - 29 + 12√5

⇒ K√5 = 12√5

∴ K = 12

कथन I:

2√3 > 3√2
ऊपर दिए गए संबंध की जाँच करने के लिए कि यह सही है या नहीं, दोनों पक्षों को वर्ग करके सरल करिए।

⇒ (2√3)2 > (3√2)2

⇒ 12 > 18 जो सत्य नहीं है, जैसा कि हम जानते हैं कि 18, 12 से बड़ा है।

इसलिए, कथन I में दिया गया संबंध सत्य नहीं है।

कथन II:
अब, कथन II में दिए गए मानों को सरल करने पर

(नोट: 2√8 = 2√(4 × 2) = 4√2)

4√2 > 2√8 दाएँ पक्ष का वर्गमूल लेने पर।

⇒ 4√2 > 2 × 2√2

⇒ 4√2 > 4√2 जो सत्य नहीं है, क्योंकि बाएँ पक्ष का मान दाएँ पक्ष के मान के बराबर है।
अतः, कथन II में दिया गया संबंध भी सत्य नहीं है।

दिया है:

(3/5)x = 81/625

गणना:

हम जानते है,

34 = 81 और 54 = 625

⇒ (3/5)4 = 81/625

(3/5)x = 81/625

∴ दोनों समीकरण की तुलना करने पर, हमें मिलता है

x = 4

अब, 

 xx  = 44 = 256

इस प्रकार के प्रश्नों को हल करने के लिए नीचे दिए गए “करणी और घातांक” के नियमों का पालन कीजिए:

घातांक के नियम:

1. a^m × aⁿ = a^{{m + n}}

2. a^m ÷ aⁿ = a^{{m - n}}

3. (a^m)ⁿ = a^mn

4. (a)^-m = 1/a^m

5. (a)^m/n = ⁿ√a^m

6. (a)⁰ = 1

\({625^{0.17}} \times {625^{0.08}} = {25^?} \times {25^{- \frac{3}{2}}}\)

\(\Rightarrow {625^{0.17\; + \;0.08}} = {25^{? + (- \frac{3}{2})}}\)

\(\Rightarrow {625^{0.25}} = {25^{? - \frac{3}{2}}}\)

\(\Rightarrow {625^{\frac{1}{4}}} = {\left( {{5^2}} \right)^{? - \frac{3}{2}}}\)

\(\Rightarrow 5 = {5^{2 \times? - 3}}\)

⇒ 2 × ? - 3 = 1

⇒ ? = (1 + 3)/2

∴ ? = 2

दिया गया है:

2x = 4y = 8^z

\(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}=4\)

गणना:

\(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}=4\) ---- (1)

2x = 4y = 8^z

⇒ 2x = 2²y = 2^3z

⇒ x = 2y = 3z

y और z को x में परिवर्तित करने पर,

2y = x, इसलिए 4y = 2x

3z = x, इसलिए 4z = 4x/3

समीकरण (1) में उपरोक्त मानो का उपयोग करने पर,

⇒ \(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}+\frac{3}{4x}=4 \)    

⇒ 7/4x = 4

∴ x = 7/16