त्रिकोणमितीय अनुपात और सर्वसमिकाएँ MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Trigonometric Ratios and Identities - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया:

अभिव्यक्ति = sinθ/cosθ

गणना:

किसी कोण के साइन और उसी कोण के कोसाइन के अनुपात को उस कोण की स्पर्शज्या के रूप में परिभाषित किया जाता है।

⇒ \(\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\) = tanθ

∴ सही उत्तर विकल्प 1 है।

दिया गया:

समकोण त्रिभुज में, लंब = आधार

प्रयुक्त सूत्र:

sinθ = विपरीत / कर्ण

cosθ = आसन्न / कर्ण

tanθ = विपरीत / आसन्न

गणना:

चूँकि लम्ब = आधार, त्रिभुज समद्विबाहु समकोण है।

मान लीजिए प्रत्येक भुजा = 1 इकाई है।

कर्ण = √(1² + 1²) = √2

sinθ = 1 / √2 = 1 / 1.414 = 0.707 ≈ 1/√2

cosθ = 1 / √2 = 1/√2 (1/2 नहीं)

tanθ = 1 / 1 = 1 (√3 नहीं)

sinθ ≠ 1/2

∴ सही कथन है: sinθ = 1/√2.

दिया गया:

यदि p sin A - cos A = 1

प्रयुक्त सूत्र:

sin 90 ^∘ = 1

cos 90 ∘ = 0

गणना:

p sin A - cos A = 1

p का मान प्राप्त करने के लिए A = 90 ^∘ रखें

\( (p \sin 90^\circ - \cos 90^\circ) = 1 \)

p × 1 - 0 = 1

p = 1

p 2 - (1 + p 2 ) cos A में A = 90° और p = 1 रखने पर:

p2 - (1 + p2) cos A = 12 - (1 - 12)cos 90° 

⇒ 1 - (1 + 1) × 0 

⇒ 1 - 2 ×​ 0 = 1 - 0 = 1

∴ p 2 - (1 + p 2 ) cos A = 1

दिया गया है:

tan2A - 6tanA + 9 = 0

प्रयुक्त अवधारणा:

tanθ = P/B

cotθ = 1/tanθ

cosθ = B/H

यहाँ,

P = लंब 

B = आधार

H = कर्ण

पाइथागोरस प्रमेय = H2 = P2 + B2

गणना:

tan2A - 6tanA + 9 = 0

⇒ tan2A - 2 × 3 × tanA + 9 = 0

⇒ (tanA - 3)² = 0

⇒ (tanA - 3) = 0

⇒ tanA  = 3

इसलिए, P/B = 3/1

अब,

H² = 3² + 1²

⇒ H2 = 9 + 1

⇒ H2 = 10

⇒ H = √10

इसलिए, cosA = 1/√10

अब,

6 cot A + 8\(√{10} \) cos A = 6 × (1/3) + 8\(√{10} \) × (1/√10)

⇒ 2 + 8

⇒ 10

∴ अभीष्ट उत्तर 10 है।

Shortcut Trick

tan2A - 6tanA + 9 = 0

⇒ (tanA - 3)2 = 0

⇒ (tanA - 3) = 0

⇒ tanA  = 3

⇒ cotA = 1/3

cosA = 1 ÷  \(\sqrt{sec^2A}\)

⇒ 1 ÷\(\sqrt{1 + tan^2A}\)

⇒ 1 ÷\(\sqrt{1 + 9}\) = \(\frac {1}{\sqrt{10}}\)

अब,

6 cot A + \(8\sqrt{10}\) cos A

⇒ 6 × (1/3) + \(8\sqrt{10}\) × \(\frac {1}{\sqrt{10}}\)

⇒ 2 + 8 = 10

∴ 6 cot A + 8\(\sqrt{10} \) cos A का मान 10 है।

दिया गया है:

cos (x - y) = √3/2

sin (x + y) = 1/2

सूत्र:

cos30° = √3/2

sin30° = 1/2

गणना:

cos(x - y) = √3/2

⇒ cos(x - y) = cos30°

(x - y) = 30°     ---- (1)

sin(x + y) = 1/2

⇒ sin(x + y) = sin30°

(x + y) = 30    ---- (2)

समीकरण (1) और समीकरण (2) को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है

2x = 60°

∴ x = 30°

दिया गया है:

tan2θ + cot2θ  - sec2θ cosec2θ

प्रयुक्त अवधारणा:

1. tanα = sinα/cosα

2. cotα = 1/tanα

3. secα = 1/cosα

4. cosecα = 1/sinα

5. (a + b)² - 2ab = a² + b²

6. sin²α + cos²α = 1

गणना:

tan2θ + cot2θ  - sec2θ cosec2θ

⇒ \(\frac {sin^2θ}{cos^2θ} + \frac {cos^2θ}{sin^2θ} - \frac {1}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

⇒ \(\frac {sin^4θ + cos^4θ - 1}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

⇒ \(\frac {(sin^2θ + cos^2θ)^2 - 2sin^2θ cos^2θ - 1}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

⇒ \(\frac {(1)^2 - 2sin^2θ cos^2θ - 1}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

⇒ \(\frac {-2sin^2θ cos^2θ}{sin^2θ \times cos^2θ}\)

⇒ -2

∴ अभीष्ट उत्तर -2 है।

Shortcut Trick 

इस प्रश्न को हल करने के लिए मूल्य निर्धारण विधि का प्रयोग करें,

θ = 45° का प्रयोग करें

tan2 θ + cot2 θ  - sec2 θ cosec2 θ

⇒ 12 + 12  - (√2)2(√2)2

⇒ 1 + 1 - 4

⇒ 2 - 4 = - 2

∴ इस प्रश्न का सही उत्तर -2 है।

प्रयुक्त अवधारणा: 

sec²(x) = 1 + tan²(x)

गणना: 

⇒ sec²θ + tan²θ = 5/3

⇒ 1 + tan²θ + tan²θ = 5/3

⇒ 2tan²θ = 2/3

⇒ tanθ = 1/√3

⇒ θ = 30

दिया गया है:

tanθ + cotθ = √3

प्रयुक्त सूत्र:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

a² + b² = (a + b)² - 2(a × b)

tanθ × cotθ = 1

गणना:

tanθ + cotθ = √3

दोनों ओर का घन लेने पर, हमें प्राप्त होता है

(tanθ + cotθ)³ = (√3)³

⇒ tan³θ + cot³θ + 3 × tanθ × cotθ × (tanθ + cotθ) = 3√3

⇒ tan3θ + cot3θ + 3√3  = 3√3

⇒ tan3θ + cot3θ = 0  

दोनों ओर का वर्ग लेने पर

(tan3θ + cot3θ)² = 0

⇒ tan⁶θ + cot⁶θ + 2 × tan3θ × cot3θ = 0

⇒ tan6θ + cot6θ + 2 = 0    

⇒ tan6θ + cot6θ = - 2

∴ tan6θ + cot6θ का मान - 2 है।

क्योंकि,

⇒ sec²θ = 1 + tan²θ

हमारे पास है,

⇒ (sec²θ)² – sec²θ = 3

⇒ (1 + tan²θ)² – (1 + tan²θ) = 3

⇒ (1 + tan⁴θ + 2tan²θ) – (1 + tan²θ) = 3

⇒ 1 + tan⁴θ + 2tan²θ – 1 – tan²θ = 3

दिया गया है:

cos 2A cos 2B + sin2(A - B) - sin2(A + B)

प्रयुक्त अवधारणा:

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b

sin²a - sin²b = sin(a + b) sin(a - b)

गणना:

cos 2A cos 2B + sin2(A - B) - sin2(A + B)

⇒ cos 2A cos 2B - [sin2(A + B) - sin2(A - B)] 

{sin2a - sin2b = sin(a + b) sin(a - b)}

⇒ cos 2A cos 2B - [sin(A + B + A - B) sin(A + B - A + B)]

⇒ cos 2A cos 2B - [sin(A + A) sin(B + B)]

⇒ cos 2A cos 2B - sin 2A sin 2B

⇒ cos (2A + 2B)

∴ अभीष्ट उत्तर cos (2A + 2B) है।

दिया गया है:

sec θ + tan θ = 5

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि sec θ + tan θ = y

तब sec θ - tan θ = 1/y

गणना:

sec θ + tan θ = 5  ----- (1)

तब,

sec θ - tan θ = 1/5 ------- (2)

समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर,

⇒ (sec θ + tan θ) - (sec θ - tan θ) = (5 - 1/5)

⇒ sec θ + tan θ - sec θ + tan θ = 24/5

⇒ 2 × tan θ = 24/5

⇒ tan θ = 12/5

∴ सही उत्तर 12/5 है।

प्रयुक्त सूत्र:

1/Cosec Ø = Sin Ø 

Sin2Ø + Cos2Ø = 1

गणना:

Cos2Ø + 1/Cosec2Ø + 17 = x

⇒ Cos2Ø + Sin2Ø + 17 = x

⇒ 1 + 17 = x

⇒ x = 18

⇒ x2 = 324

∴ x2 का मान 324 है। 

दिया गया है:

secθ - cosθ = 14 और 14 secθ = x

प्रयुक्त अवधारणा:

\(Sec\theta =\frac{1}{Cos\theta}\)

गणना:

प्रश्नानुसार,

⇒ \(sec\theta - cos\theta= 14\)

⇒ \(\sec\theta-\frac{1}{sec\theta}=14\)

⇒ \( sec²\theta-1=14sec\theta\)

⇒ \(\tan^2\theta=14sec\theta\)      ----(\(sec²\theta-1=tan^2\theta\))

\(\ tan²\theta=x\)

∴ x का मान \(tan²\theta\) है।

गणना:

cot⁴θ + cot²θ = 3

⇒ cos⁴θ/sin⁴θ + cos ²θ/sin ²θ 

⇒ cos 2θ(cos 2θ+ sin 2θ )/sin4θ = 3 (ल.स.प. लेने पर)

⇒ cos 2θ/sin⁴θ = 3

⇒ cot²θ . cosec²θ = 3

अब, cosec⁴θ – cosec²θ

⇒ cosec²θ(cosec²θ – 1)

⇒ cosec²θcot²θ = 3

∴ cosec4θ – cosec2θ = 3

दिया गया है:

cos (36° - A) cos (36° + A) + cos (54° - A) cos (54° + A)

प्रयुक्त सूत्र:

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b

sin (90 - a) = cos a

गणना:

⇒ sin[90 – (36 – A)]sin[90 – (36 + A)] + cos (54° – A) cos (54° + A)

⇒ sin(54º + A)sin(54º – A) + cos (54° – A)cos (54° + A)

⇒ सर्वसमिका cos(A – B) का उपयोग करने पर,

⇒ cos(54 + A – 54 + A) = cos(2A)

अतः cos (36° - A) cos (36° + A) + cos (54° - A) cos (54° + A) का मान cos(2A) है।