त्रिकोणमितीय अनुपात और सर्वसमिकाएँ MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Trigonometric Ratios and Identities - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on May 23, 2025
Latest Trigonometric Ratios and Identities MCQ Objective Questions
त्रिकोणमितीय अनुपात और सर्वसमिकाएँ Question 1:
sinθ/cosθ = ?
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Ratios and Identities Question 1 Detailed Solution
दिया गया:
अभिव्यक्ति = sinθ/cosθ
गणना:
किसी कोण के साइन और उसी कोण के कोसाइन के अनुपात को उस कोण की स्पर्शज्या के रूप में परिभाषित किया जाता है।
⇒ \(\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\) = tanθ
∴ सही उत्तर विकल्प 1 है।
त्रिकोणमितीय अनुपात और सर्वसमिकाएँ Question 2:
यदि एक समकोण त्रिभुज के लंब और आधार बराबर हैं, तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Ratios and Identities Question 2 Detailed Solution
दिया गया:
समकोण त्रिभुज में, लंब = आधार
प्रयुक्त सूत्र:
sinθ = विपरीत / कर्ण
cosθ = आसन्न / कर्ण
tanθ = विपरीत / आसन्न
गणना:
चूँकि लम्ब = आधार, त्रिभुज समद्विबाहु समकोण है।
मान लीजिए प्रत्येक भुजा = 1 इकाई है।
कर्ण = √(1² + 1²) = √2
sinθ = 1 / √2 = 1 / 1.414 = 0.707 ≈ 1/√2
cosθ = 1 / √2 = 1/√2 (1/2 नहीं)
tanθ = 1 / 1 = 1 (√3 नहीं)
sinθ ≠ 1/2
∴ सही कथन है: sinθ = 1/√2.
त्रिकोणमितीय अनुपात और सर्वसमिकाएँ Question 3:
यदि p sin A - cos A = 1 है, तो p2 - (1 + p2) cos A का मान कितना है?
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Ratios and Identities Question 3 Detailed Solution
दिया गया:
यदि p sin A - cos A = 1
प्रयुक्त सूत्र:
sin 90 ∘ = 1
cos 90 ∘ = 0
गणना:
p sin A - cos A = 1
p का मान प्राप्त करने के लिए A = 90 ∘ रखें
\( (p \sin 90^\circ - \cos 90^\circ) = 1 \)
p × 1 - 0 = 1
p = 1
p 2 - (1 + p 2 ) cos A में A = 90° और p = 1 रखने पर:
p2 - (1 + p2) cos A = 12 - (1 - 12)cos 90°
⇒ 1 - (1 + 1) × 0
⇒ 1 - 2 × 0 = 1 - 0 = 1
∴ p 2 - (1 + p 2 ) cos A = 1
त्रिकोणमितीय अनुपात और सर्वसमिकाएँ Question 4:
यदि tan2 A - 6 tan A + 9 = 0 है, जहाँ 0 < A < 90° है, तो 6 cot A + 8\(\sqrt{10} \) cos A का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Ratios and Identities Question 4 Detailed Solution
दिया गया है:
tan2A - 6tanA + 9 = 0
प्रयुक्त अवधारणा:
tanθ = P/B
cotθ = 1/tanθ
cosθ = B/H
यहाँ,
P = लंब
B = आधार
H = कर्ण
पाइथागोरस प्रमेय = H2 = P2 + B2
गणना:
tan2A - 6tanA + 9 = 0
⇒ tan2A - 2 × 3 × tanA + 9 = 0
⇒ (tanA - 3)2 = 0
⇒ (tanA - 3) = 0
⇒ tanA = 3
इसलिए, P/B = 3/1
अब,
H2 = 32 + 12
⇒ H2 = 9 + 1
⇒ H2 = 10
⇒ H = √10
इसलिए, cosA = 1/√10
अब,
6 cot A + 8\(√{10} \) cos A = 6 × (1/3) + 8\(√{10} \) × (1/√10)
⇒ 2 + 8
⇒ 10
∴ अभीष्ट उत्तर 10 है।
Shortcut Trick
tan2A - 6tanA + 9 = 0
⇒ (tanA - 3)2 = 0
⇒ (tanA - 3) = 0
⇒ tanA = 3
⇒ cotA = 1/3
cosA = 1 ÷ \(\sqrt{sec^2A}\)
⇒ 1 ÷\(\sqrt{1 + tan^2A}\)
⇒ 1 ÷\(\sqrt{1 + 9}\) = \(\frac {1}{\sqrt{10}}\)
अब,
6 cot A + \(8\sqrt{10}\) cos A
⇒ 6 × (1/3) + \(8\sqrt{10}\) × \(\frac {1}{\sqrt{10}}\)
⇒ 2 + 8 = 10
∴ 6 cot A + 8\(\sqrt{10} \) cos A का मान 10 है।
त्रिकोणमितीय अनुपात और सर्वसमिकाएँ Question 5:
यदि cos (x - y) \(=\frac{\sqrt 3}{2}\) और sin (x + y) \(=\frac{1}{2}\), तो x (0 ≤ x ≤ 90) का मान है:
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Ratios and Identities Question 5 Detailed Solution
दिया गया है:
cos (x - y) = √3/2
sin (x + y) = 1/2
सूत्र:
cos30° = √3/2
sin30° = 1/2
गणना:
cos(x - y) = √3/2
⇒ cos(x - y) = cos30°
(x - y) = 30° ---- (1)
sin(x + y) = 1/2
⇒ sin(x + y) = sin30°
(x + y) = 30 ---- (2)
समीकरण (1) और समीकरण (2) को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है
2x = 60°
∴ x = 30°
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tan2θ + cot2θ - sec2θ cosec2θ का मान है:
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Ratios and Identities Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
tan2θ + cot2θ - sec2θ cosec2θ
प्रयुक्त अवधारणा:
1. tanα = sinα/cosα
2. cotα = 1/tanα
3. secα = 1/cosα
4. cosecα = 1/sinα
5. (a + b)2 - 2ab = a2 + b2
6. sin2α + cos2α = 1
गणना:
tan2θ + cot2θ - sec2θ cosec2θ
⇒ \(\frac {sin^2θ}{cos^2θ} + \frac {cos^2θ}{sin^2θ} - \frac {1}{sin^2θ \times cos^2θ}\)
⇒ \(\frac {sin^4θ + cos^4θ - 1}{sin^2θ \times cos^2θ}\)
⇒ \(\frac {(sin^2θ + cos^2θ)^2 - 2sin^2θ cos^2θ - 1}{sin^2θ \times cos^2θ}\)
⇒ \(\frac {(1)^2 - 2sin^2θ cos^2θ - 1}{sin^2θ \times cos^2θ}\)
⇒ \(\frac {-2sin^2θ cos^2θ}{sin^2θ \times cos^2θ}\)
⇒ -2
∴ अभीष्ट उत्तर -2 है।
Shortcut Trick
इस प्रश्न को हल करने के लिए मूल्य निर्धारण विधि का प्रयोग करें,
θ = 45° का प्रयोग करें
tan2 θ + cot2 θ - sec2 θ cosec2 θ
⇒ 12 + 12 - (√2)2(√2)2
⇒ 1 + 1 - 4
⇒ 2 - 4 = - 2
∴ इस प्रश्न का सही उत्तर -2 है।
यदि sec2θ + tan2θ = 5/3 है, तब tan2θ का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Ratios and Identities Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFप्रयुक्त अवधारणा:
sec2(x) = 1 + tan2(x)
गणना:
⇒ sec2θ + tan2θ = 5/3
⇒ 1 + tan2θ + tan2θ = 5/3
⇒ 2tan2θ = 2/3
⇒ tanθ = 1/√3
⇒ θ = 30
∴ tan(2θ) = tan(60) = √3यदि tanθ + cotθ का मान = √3 है, तो tan6θ + cot6θ का मान ज्ञात कीजिये।
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Ratios and Identities Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
tanθ + cotθ = √3
प्रयुक्त सूत्र:
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
a2 + b2 = (a + b)2 - 2(a × b)
tanθ × cotθ = 1
गणना:
tanθ + cotθ = √3
दोनों ओर का घन लेने पर, हमें प्राप्त होता है
(tanθ + cotθ)3 = (√3)3
⇒ tan3θ + cot3θ + 3 × tanθ × cotθ × (tanθ + cotθ) = 3√3
⇒ tan3θ + cot3θ + 3√3 = 3√3
⇒ tan3θ + cot3θ = 0
दोनों ओर का वर्ग लेने पर
(tan3θ + cot3θ)2 = 0
⇒ tan6θ + cot6θ + 2 × tan3θ × cot3θ = 0
⇒ tan6θ + cot6θ + 2 = 0
⇒ tan6θ + cot6θ = - 2
∴ tan6θ + cot6θ का मान - 2 है।
यदि sec4θ – sec2θ = 3 है, तो tan4θ + tan2θ का मान है:
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Ratios and Identities Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFक्योंकि,
⇒ sec2θ = 1 + tan2θ
हमारे पास है,
⇒ (sec2θ)2 – sec2θ = 3
⇒ (1 + tan2θ)2 – (1 + tan2θ) = 3
⇒ (1 + tan4θ + 2tan2θ) – (1 + tan2θ) = 3
⇒ 1 + tan4θ + 2tan2θ – 1 – tan2θ = 3
व्यंजक cos 2A cos 2B + sin2(A - B) - sin2(A + B) का मान ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Ratios and Identities Question 10 Detailed Solution
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cos 2A cos 2B + sin2(A - B) - sin2(A + B)
प्रयुक्त अवधारणा:
cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b
sin2a - sin2b = sin(a + b) sin(a - b)
गणना:
cos 2A cos 2B + sin2(A - B) - sin2(A + B)
⇒ cos 2A cos 2B - [sin2(A + B) - sin2(A - B)]
{sin2a - sin2b = sin(a + b) sin(a - b)}
⇒ cos 2A cos 2B - [sin(A + B + A - B) sin(A + B - A + B)]
⇒ cos 2A cos 2B - [sin(A + A) sin(B + B)]
⇒ cos 2A cos 2B - sin 2A sin 2B
⇒ cos (2A + 2B)
∴ अभीष्ट उत्तर cos (2A + 2B) है।
यदि sec θ + tan θ = 5 है, तो tan θ का मान ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Ratios and Identities Question 11 Detailed Solution
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sec θ + tan θ = 5
प्रयुक्त अवधारणा:
यदि sec θ + tan θ = y
तब sec θ - tan θ = 1/y
गणना:
sec θ + tan θ = 5 ----- (1)
तब,
sec θ - tan θ = 1/5 ------- (2)
समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर,
⇒ (sec θ + tan θ) - (sec θ - tan θ) = (5 - 1/5)
⇒ sec θ + tan θ - sec θ + tan θ = 24/5
⇒ 2 × tan θ = 24/5
⇒ tan θ = 12/5
∴ सही उत्तर 12/5 है।
(cos2Ø + 1/cosec2Ø) + 17 = x. है तो x2 का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Ratios and Identities Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFप्रयुक्त सूत्र:
1/Cosec Ø = Sin Ø
Sin2Ø + Cos2Ø = 1
गणना:
Cos2Ø + 1/Cosec2Ø + 17 = x
⇒ Cos2Ø + Sin2Ø + 17 = x
⇒ 1 + 17 = x
⇒ x = 18
⇒ x2 = 324
∴ x2 का मान 324 है।
यदि sec θ - cos θ = 14 और 14 sec θ = x है, तब x का मान ____है।
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Ratios and Identities Question 13 Detailed Solution
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secθ - cosθ = 14 और 14 secθ = x
प्रयुक्त अवधारणा:
\(Sec\theta =\frac{1}{Cos\theta}\)
गणना:
प्रश्नानुसार,
⇒ \(sec\theta - cos\theta= 14\)
⇒ \(\sec\theta-\frac{1}{sec\theta}=14\)
⇒ \( sec²\theta-1=14sec\theta\)
⇒ \(\tan^2\theta=14sec\theta\) ----(\(sec²\theta-1=tan^2\theta\))
\(\ tan²\theta=x\)
∴ x का मान \(tan²\theta\) है।
यदि cot4θ + cot2θ = 3 है, तो cosec4θ – cosec2θ = ?
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Ratios and Identities Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFगणना:
cot4θ + cot2θ = 3
⇒ cos4θ/sin4θ + cos 2θ/sin 2θ
⇒ cos 2θ(cos 2θ+ sin 2θ )/sin4θ = 3 (ल.स.प. लेने पर)
⇒ cos 2θ/sin4θ = 3
⇒ cot2θ . cosec2θ = 3
अब, cosec4θ – cosec2θ
⇒ cosec2θ(cosec2θ – 1)
⇒ cosec2θcot2θ = 3
∴ cosec4θ – cosec2θ = 3
निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:
cos(36° + A).cos(36° - A) + cos(54° + A).cos(54° - A)
Answer (Detailed Solution Below)
Trigonometric Ratios and Identities Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
cos (36° - A) cos (36° + A) + cos (54° - A) cos (54° + A)
प्रयुक्त सूत्र:
cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b
sin (90 - a) = cos a
गणना:
⇒ sin[90 – (36 – A)]sin[90 – (36 + A)] + cos (54° – A) cos (54° + A)
⇒ sin(54º + A)sin(54º – A) + cos (54° – A)cos (54° + A)
⇒ सर्वसमिका cos(A – B) का उपयोग करने पर,
⇒ cos(54 + A – 54 + A) = cos(2A)
अतः cos (36° - A) cos (36° + A) + cos (54° - A) cos (54° + A) का मान cos(2A) है।