संभाव्यता MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Probability - मोफत PDF डाउनलोड करा

दिले:

P(A) = (3)/(8)

P(B) = (1)/(2)

P(A ∩ B) = (1)/(4)

वापरलेले सूत्र:

P(A̅ ∩ B̅) = 1 - P(A ∪ B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

गणना:

P(A ∪ B) = (3)/(8) + (1)/(2) - (1)/(4)

⇒ P(A ∪ B) = (3)/(8) + (4)/(8) - (2)/(8)

⇒ P(A ∪ B) = (5)/(8)

⇒ P(A̅ ∩ B̅) = 1 - (5)/(8)

⇒ P(A̅ ∩ B̅) = (3)/(8)

∴ योग्य उत्तर पर्याय (2) आहे.

स्पष्टीकरण:

\(P(A|A' \cup B') = \dfrac{P(A \cap (A' \cup B'))}{P(A' \cup B')}\)

\(P(A \cap (A' \cup B'))=P(A)-P(A \cap B)= \dfrac{2}{5}-\dfrac{3}{20}=\dfrac{5}{20}\)

\(P(A' \cup B')=1-P(A \cap B)=\dfrac{17}{20}\)

म्हणून, \(P(A|A' \cup B') =\dfrac {\dfrac{5}{20}}{\dfrac{17}{20}}=\dfrac{5}{17}\)

दिलेले आहे:

पत्त्यांच्या एका कॅटमध्ये 4 एक्के, 4 राजा, 4 राणी आणि 4 गुलाम आहेत.

एकूण पत्त्यांची संख्या = 16

वापरलेले सूत्र:

घटनेची संभाव्यता = (अनुकूल निकालांची संख्या)/(एकूण निकालांची संख्या)

गणना:

16 पैकी 2 पत्ते काढण्याचे मार्ग:

16C2 = (16 × 15) / (2 × 1) = 120

दोन्हीपैकी एकही कार्ड एक्का नसेल, अशाप्रकारे दोन पत्ते काढण्याचे एकूण मार्ग:

एक्के नसलेल्या पत्त्यांची संख्या = 16 - 4 = 12

12C2 = (12 × 11) / (2 × 1) = 66

किमान एक एक्का असेल, अशाप्रकारे 2 पत्ते काढण्याचे एकूण मार्ग:

अनुकूल निकालांची संख्या = एकूण मार्ग - कोणताही एक्का नसलेले मार्ग

⇒ 120 - 66 = 54

यांपैकी किमान एक एक्का असण्याची संभाव्यता:

⇒ 54 / 120

⇒ 9 / 20

∴ यापैकी किमान एक एक्का असण्याची संभाव्यता 9/20 आहे.

दिले:

P(A) = (3)/(8)

P(B) = (1)/(2)

P(A ∩ B) = (1)/(4)

वापरलेले सूत्र:

P(A̅ ∩ B̅) = 1 - P(A ∪ B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

गणना:

P(A ∪ B) = (3)/(8) + (1)/(2) - (1)/(4)

⇒ P(A ∪ B) = (3)/(8) + (4)/(8) - (2)/(8)

⇒ P(A ∪ B) = (5)/(8)

⇒ P(A̅ ∩ B̅) = 1 - (5)/(8)

⇒ P(A̅ ∩ B̅) = (3)/(8)

∴ योग्य उत्तर पर्याय (2) आहे.

वापरलेले सूत्र:

संभाव्यता = अनुकूल परिणामांची संख्या/परिणामांची एकूण संख्या

गणना:

प्रश्नानुसार,

संभाव्यता =  4/52 = 1/13

∴ योग्य उत्तर 1/13 आहे.

संकल्पना:

• \(\rm P(A|B) = \frac {P(A \;∩ \; B)}{P(B)}\)
• \(\rm P(B|A) = \frac {P(A \;∩ \; B)}{P(A)}\)
• A ⊂ B = योग्य उपसंच: A चा प्रत्येक घटक B मध्ये आहे, परंतु B मध्ये अधिक घटक आहेत.
• ϕ = रिक्त संच = {}

गणना:

दिलेल्याप्रमाणे: P(B/A) = 1

⇒ \(\rm P(B|A) = \frac {P(A \;∩ \; B)}{P(A)} = 1\)

⇒ P(A ∩ B) = P(A)

⇒ (A ∩ B) = A

तर, A चा प्रत्येक घटक B मध्ये आहे, परंतु B मध्ये अधिक घटक आहेत.

∴ A ⊂ B

समजा E₁, E₂ आणि E₃ हे अनुक्रमे A, B, C बॉक्स निवडण्याच्या घटना दर्शवतात आणि A ही यादृच्छिकपणे निवडलेला स्क्रू सदोष असल्याची घटना दर्शवते.

तर,

P(E1) = P(E2) = P(E3) = 1/3,

\({\rm{P}}\left( {{\rm{A}}/{{\rm{E}}_1}} \right) = \frac{1}{5}\)

\({\rm{P}}\left( {\frac{{\rm{A}}}{{{{\rm{E}}_2}}}} \right) = \frac{1}{6} \Rightarrow {\rm{P}}\left( {{\rm{A}}/{{\rm{E}}_3}} \right) = \frac{1}{7}\)

तर, बेजच्या प्रमेयानुसार, आवश्यक संभाव्यता

= P(E1/A)

संकल्पना:

द्विपद सूत्र. समजा द्विपद प्रयोगात n चाचण्या असतात आणि परिणाम x यशस्वी होतो. वैयक्तिक चाचणीच्या यशाची संभाव्यता P असल्यास द्विपद संभाव्यता आहे.

b(X; n, P) = ⁿC_r . P^x . (1 - P)^{n - x}

द्विपदी वितरणासाठी, दिलेल्या यशाच्या संख्येसाठी, सरासरी, भिन्नता आणि मानक विचलन सूत्राचा वापर करून दर्शविले जाते.

मिन μ = np

व्ह्यारीयन्स σ2 = np(1 - p) = npq

जेथे p यशाची संभाव्यता आहे.

q अपयशाची संभाव्यता आहे जिथे q = 1 - p

गणना:

दिले आहे: सरासरी त्याच्या भिन्नतेच्या दुप्पट आहे.

सरासरी = 2 × भिन्नता

np = 2 × npq

q = \(\rm \frac{1}{2}\)

p = 1 - q = 1 - \(\rm \frac{1}{2}\) = \(\rm \frac{1}{2}\)

दिले आहे: n = 4 चाचण्या r = 2

आपल्याला माहित आहे P (x = 2) = ⁿC_r. p^r. q^{n - r}

= 4C2. \(\rm (\frac{1}{2})\)2. \(\rm (\frac{1}{2})\)4 - 2

= 4C2. \(\rm (\frac{1}{2})\)2. \(\rm (\frac{1}{2})\)2

= 4C2. \(\rm \frac{1}{4}\). \(\rm \frac{1}{4}\)

= 6 × \(\rm \frac{1}{4}\) × \(\rm \frac{1}{4}\)

= \(\rm \frac{3}{8}\)

Additional Information

द्विपदी वितरणाचे गुणधर्म

द्विपदी वितरणाचे गुणधर्म आहेत:

• दोन संभाव्य परिणाम आहेत, खरे किंवा खोटे, यश किंवा अपयश, होय किंवा नाही.
• स्वतंत्र चाचण्यांची n संख्या किंवा n वेळा पुनरावृत्ती झालेल्या चाचण्यांची निश्चित संख्या आहे.
• प्रत्येक चाचणीसाठी यश किंवा अपयशाची शक्यता बदलते.
• n स्वतंत्र चाचण्यांमधून केवळ यशाची संख्या मोजली जाते.
• प्रत्येक चाचणी ही स्वतंत्र चाचणी असते, याचा अर्थ एका चाचणीचा परिणाम दुसऱ्या चाचणीच्या निकालावर परिणाम करत नाही.

दिलेले आहे:

पत्त्यांच्या एका कॅटमध्ये 4 एक्के, 4 राजा, 4 राणी आणि 4 गुलाम आहेत.

एकूण पत्त्यांची संख्या = 16

वापरलेले सूत्र:

घटनेची संभाव्यता = (अनुकूल निकालांची संख्या)/(एकूण निकालांची संख्या)

गणना:

16 पैकी 2 पत्ते काढण्याचे मार्ग:

16C2 = (16 × 15) / (2 × 1) = 120

दोन्हीपैकी एकही कार्ड एक्का नसेल, अशाप्रकारे दोन पत्ते काढण्याचे एकूण मार्ग:

एक्के नसलेल्या पत्त्यांची संख्या = 16 - 4 = 12

12C2 = (12 × 11) / (2 × 1) = 66

किमान एक एक्का असेल, अशाप्रकारे 2 पत्ते काढण्याचे एकूण मार्ग:

अनुकूल निकालांची संख्या = एकूण मार्ग - कोणताही एक्का नसलेले मार्ग

⇒ 120 - 66 = 54

यांपैकी किमान एक एक्का असण्याची संभाव्यता:

⇒ 54 / 120

⇒ 9 / 20

∴ यापैकी किमान एक एक्का असण्याची संभाव्यता 9/20 आहे.

दिलेल्याप्रमाणे :

शहरात, 50 चौक आहेत (बंद टोकांसह)

गणना:

असे दिले आहे की, m चौक हे विषम संख्येच्या रस्त्यांशी संलग्न आहेत.

दिलेल्या पर्यायांमध्ये केवळ 15 एक विषम संख्या आहे.

∴ m च्या मूल्यासाठी 15 अशक्य आहे.

संकल्पना:

• \(\rm P(A|B) = \frac {P(A \;∩ \; B)}{P(B)}\)
• \(\rm P(B|A) = \frac {P(A \;∩ \; B)}{P(A)}\)
• A ⊂ B = योग्य उपसंच: A चा प्रत्येक घटक B मध्ये आहे, परंतु B मध्ये अधिक घटक आहेत.
• ϕ = रिक्त संच = {}

गणना:

दिलेल्याप्रमाणे: P(B/A) = 1

⇒ \(\rm P(B|A) = \frac {P(A \;∩ \; B)}{P(A)} = 1\)

⇒ P(A ∩ B) = P(A)

⇒ (A ∩ B) = A

तर, A चा प्रत्येक घटक B मध्ये आहे, परंतु B मध्ये अधिक घटक आहेत.

∴ A ⊂ B

दिले:

P(A) = (3)/(8)

P(B) = (1)/(2)

P(A ∩ B) = (1)/(4)

वापरलेले सूत्र:

P(A̅ ∩ B̅) = 1 - P(A ∪ B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

गणना:

P(A ∪ B) = (3)/(8) + (1)/(2) - (1)/(4)

⇒ P(A ∪ B) = (3)/(8) + (4)/(8) - (2)/(8)

⇒ P(A ∪ B) = (5)/(8)

⇒ P(A̅ ∩ B̅) = 1 - (5)/(8)

⇒ P(A̅ ∩ B̅) = (3)/(8)

∴ योग्य उत्तर पर्याय (2) आहे.

समजा E₁, E₂ आणि E₃ हे अनुक्रमे A, B, C बॉक्स निवडण्याच्या घटना दर्शवतात आणि A ही यादृच्छिकपणे निवडलेला स्क्रू सदोष असल्याची घटना दर्शवते.

तर,

P(E1) = P(E2) = P(E3) = 1/3,

\({\rm{P}}\left( {{\rm{A}}/{{\rm{E}}_1}} \right) = \frac{1}{5}\)

\({\rm{P}}\left( {\frac{{\rm{A}}}{{{{\rm{E}}_2}}}} \right) = \frac{1}{6} \Rightarrow {\rm{P}}\left( {{\rm{A}}/{{\rm{E}}_3}} \right) = \frac{1}{7}\)

तर, बेजच्या प्रमेयानुसार, आवश्यक संभाव्यता

= P(E1/A)

स्पष्टीकरण:

\(P(A|A' \cup B') = \dfrac{P(A \cap (A' \cup B'))}{P(A' \cup B')}\)

\(P(A \cap (A' \cup B'))=P(A)-P(A \cap B)= \dfrac{2}{5}-\dfrac{3}{20}=\dfrac{5}{20}\)

\(P(A' \cup B')=1-P(A \cap B)=\dfrac{17}{20}\)

म्हणून, \(P(A|A' \cup B') =\dfrac {\dfrac{5}{20}}{\dfrac{17}{20}}=\dfrac{5}{17}\)

वापरलेले सूत्र:

संभाव्यता = अनुकूल परिणामांची संख्या/परिणामांची एकूण संख्या

गणना:

प्रश्नानुसार,

संभाव्यता =  4/52 = 1/13

∴ योग्य उत्तर 1/13 आहे.