Relations and Functions MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Relations and Functions - मोफत PDF डाउनलोड करा

दिलेले आहे -

\(g(x)=x-\frac{1}{x}\) आणि \(f og(x)=x^3-\frac{1}{x^3}\)

संकल्पना -

\(x^3-\frac{1}{x^3} = (x-\frac{1}{x})^3 +3(x-\frac{1}{x})\)

स्पष्टीकरण -

आपल्याकडे, \(f og(x)=x^3-\frac{1}{x^3}\)

⇒ \(f (g(x))=x^3-\frac{1}{x^3}\)

सूत्र वापरून, आपल्याकडे -

⇒ \(f (g(x))=(x-\frac{1}{x})^3 +3(x-\frac{1}{x})\)

आपल्याकडे, \(g(x)=x-\frac{1}{x}\)

⇒ \(f (x -\frac1x)=(x-\frac{1}{x})^3 +3(x-\frac{1}{x})\)

x - 1/x = y ला बदलू, आपल्याकडे,

⇒ \(f (y)=y^3 + 3y\)

आता f(x) = x3 + 3x

तर f(x) - 3x = x3 + 3x - 3x = x3

आता g[f(x) - 3x] = g(x3) = \(x^3-\frac{1}{x^3}\)

म्हणून, पर्याय (1) योग्य आहे.

\( f(g(x))=x \) जेथे \( g(x) \) हा \( f(x) \) चा व्यस्त आहे.

आता \( x \) च्या संदर्भात दोन्ही बाजूंचे विकलन (differentiating) केल्यास, आपल्याकडे,

\( f'(g(x))g'(x)=1 \)

\( \dfrac{g'(x)}{1+g(x)^{5}}=1 \)

\( g'(x)=1+g(x)^{5} \)

दिलेले आहे, \(\ f: R \rightarrow R, f(x) = x|x| \)

फंक्शन पुन्हा परिभाषित केल्यास,

\(\ f(x) = \left\{ \begin{matrix} -x^{2}, & x < 0 \ 0, & x = 0 \ x^{2}, & x > 0 \end{matrix} \right. \)

\(\ f(x) \) चा आलेख दर्शवतो की, ते एकैक (एकामागून एक) फल आहे.

संकल्पना​:

f आणि g या कोणत्याही दोन फलांसाठी, f o g हे f[g(x)] म्हणून परिभाषित केले जाते.

गणना:

दिलेल्याप्रमाणे,

f(x) = 4x + 3   

वरील संकल्पना वापरून

⇒ fof(x) = 4(4x + 3) + 3

⇒ fof(x) = 16x + 15 

पुन्हा समान संकल्पना वापरून​

⇒ fofof(x) = 16(4x + 3) + 15

⇒ fofof(x) = 64x + 63

वरील फलात x = -1 हे मूल्य टाकून,

⇒ fofof(-1) = 64(-1) + 63 = -1

∴ f o f o f(-1) हे -1 च्या समान आहे.

दिलेले आहे:

f(x) = x2

गणना:

f(x) = x2

⇒ f ची श्रेणी = [0, ∞]

⇒ ऋणेतर संख्या

∴ f ची श्रेणी ऋणेतर संख्या असेल.

संकल्पना​:

f आणि g या कोणत्याही दोन फलांसाठी, f o g हे f[g(x)] म्हणून परिभाषित केले जाते.

गणना:

दिलेल्याप्रमाणे,

f(x) = 4x + 3   

वरील संकल्पना वापरून

⇒ fof(x) = 4(4x + 3) + 3

⇒ fof(x) = 16x + 15 

पुन्हा समान संकल्पना वापरून​

⇒ fofof(x) = 16(4x + 3) + 15

⇒ fofof(x) = 64x + 63

वरील फलात x = -1 हे मूल्य टाकून,

⇒ fofof(-1) = 64(-1) + 63 = -1

∴ f o f o f(-1) हे -1 च्या समान आहे.

गणना:

दिलेले आहे: f(x) = px + q आणि g(x) = mx + n

f (g(x)) = g (f(x))

⇒ f (mx + n) = g (px + q)

⇒ p (mx + n) + q = m (px + q) + n

⇒ pmx + pn + q = pmx + mq + n

⇒ pn + q = mq + n

⇒ f (n) = g (q)

∴ पर्याय 3 हे योग्य उत्तर आहे.

संकल्पना:

फल f(x) हे एकास एक फल असे म्हटले जाते जर

f(a) = f(b) ⇒ a = b, प्रत्येक a, b साठी

गणना:

फल f(x) हे एकास एक फल असे म्हटले जाते जर

f(a) = f(b) ⇒ a = b, प्रत्येक a, b साठी

सह-डोमेन {1, 2, 3} विचारात घ्या.

'1' हा 5 पैकी कोणत्याही संख्येशी संबंधित असू शकतो.
'2' हा इतर चार संख्‍यांपैकी कोणत्‍याही संख्‍येशी संबंधित असू शकतो कारण '1' त्‍यांच्‍यापैकी एकाशी आधीच संबंधित आहे.
आपल्याला 2 संबद्ध करण्यासाठी 4 पर्यायांसह सोडावे लागते.

शेवटी '3' हे उर्वरित 3 संख्यांशी संबंधित असू शकतो.
म्हणून असे करण्याच्या एकूण पद्धतींची संख्या = 5 × 4 × 3
= 60

म्हणून, {1, 2, 3} ते {1, 2, 3, 4, 5} पर्यंत एकास एक फलाची संख्या 60 आहे.

संकल्पना:

व्यस्त संबंध:

R हे A ते B चे संबंध रूप आहे असे समजा. तर B पासून A या संचातून R^-1 द्वारे दर्शविलेल्या व्यस्त संबंधाची व्याख्या R^-1 = {(b, a) : (a, b) ∈ R} अशी केली जाते.

गणना:

दिलेले आहे: A = {2, 4, 5}, B = {5, 9, 11} आणि R हे A पासून B चा a R b ⇔ b = 2a + 1 असा संबंध आहे.

तर, जेव्हा a = 2 ⇒ b = 2a + 1 = 5 ∈ B ⇒ (2, 5) ∈ R

जेव्हा a = 4 तर b = 2a + 1 = 9 ∈ B ⇒ (4, 9) ∈ R

जेव्हा a = 5 तर b = 2a + 1 = 11 ∈ B ⇒ (5, 11) ∈ R

⇒ R = {(2, 5), (4, 9), (5, 11)}

जसे आपल्याला माहित आहे की जर R हे A ते B चे संबंध रूप आहे असे समजा. तर B पासून A या संचातून R-1 द्वारे दर्शविलेल्या व्यस्त संबंधाची व्याख्या R-1 = {(b, a) : (a, b) ∈ R} अशी केली जाते.

⇒ R^-1 = {(5, 2), (9, 4), (11, 5)}

संकल्पना:

समजा * हा अरिक्त संचावरील द्विपद क्रिया आहे. जर S मध्ये e घटक असेल तर a * e = e * a = a ∀ a ∈ S. तर e या घटकाला * च्या संदर्भात S चा अविकारक घटक म्हणतात.

गणना:

दिलेल्याप्रमाणे: * ही Z वरील द्विपद क्रिया आहे जसे की a * b = a + b + 1 ∀ a, b ∈ Z.

समजा e हा Z चा * च्या संदर्भात अविकारक घटक आहे.

आपणास माहित आहे की जर e हा द्विपद क्रियेच्या संदर्भात अरिक्त S चा ओळख घटक असेल तर a * e = e * a = a ∀ a ∈ S.

समजा a ∈ Z आणि कारण e हा Z चा दिलेल्या * क्रियेच्या संदर्भात अविकारक घटक आहे .

म्हणजे, a * e = a = e * a ∀ a ∈ Z.

* च्या व्याख्येनुसार, आपल्याकडे खालीलप्रमाणे आहे

⇒ a * e = a + e + 1 = a ∀ a ∈ Z

⇒ e = - 1

म्हणून, - 1 हा Z चा दिलेल्या * क्रियेच्या संदर्भात अविकारक घटक आहे.

संकल्पना:

एकास एक फल / विभेदक फल:

फल f : A → B हे एक - एकास एक फल असे म्हटले जाते, जर A मधील भिन्न घटक B मधील भिन्न f - प्रतिमा असतील.

म्हणजेच जर f (x₁) = f (x₂) ⇒ x₁ = x₂, ∀ x₁, x₂ ∈ A

आच्छादक फल/ परिवेधी फल:

फल f : A → B हे आच्छादक फल असे म्हटले जाते जर B मधील प्रत्येक घटकाला A मध्ये किमान एक पूर्वप्रतिमा असेल.

एकैक फल:

फल f : A → B हे एकैक फल आहे असे म्हटले जाते जर ते एकास एक आणि आच्छादक फल दोन्ही असेल.

गणना:

दिलेले आहे: f : N → N आणि f (x) = x + 1 म्हणून परिभाषित केले आहे

एकास एक:

समजा f (x₁) = f (x₂)

⇒ x₁ + 1 = x₂ + 1

⇒ x₁ = x₂

म्हणून, दिलेले फल f हा एकास एक आहे.

आच्छादक:

समजा y = f(x) = x + 1

⇒ x = y -1

पण जर y = 1 ∈ N तर x = 0 ∉ N.

म्हणून, को-डोमेनच्या सर्व घटकांची म्हणजे N ची डोमेनमध्ये पूर्व-प्रतिमा नाही, म्हणजेच N.
म्हणून, दिलेले फल आच्छादक नाही.

संकल्पना​:

एक-एक फल / विभेदक फल:
फल f: A → B यास एक-एक फल असल्याचे म्हटले जाते, जर A मधील भिन्न घटकांमध्ये भिन्न प्रतिमा असल्यास किंवा B मधील भिन्न घटकांशी संबंधित असल्यास

f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2, ∀ x1, x2 ∈ A.

अंतःक्षेपी फल:

कोणतेही फल f: A → B अंतःक्षेपी फल असल्याचे म्हटले जाते जर B मध्ये किमान एक घटक असेल ज्याची A मध्ये पूर्व-प्रतिमा नसेल, तर फल f हे अंतःक्षेपी फल आहे असे म्हटले जाते.

म्हणजे, जर फल व्याप्‍तिसंच​ f ⊂ f फलाचे सह-अधिक्षेत्र आहे तर f अंतःक्षेपी फल आहे.

अनेक-एक फल:

कोणतेही फल f: A → B अनेक-एक फल असल्याचे म्हटले जाते जर A मधील दोन (किंवा दोनपेक्षा अधिक) भिन्न घटकांच्या B मध्ये समान प्रतिमा आहेत.

आच्छादक फल / परिवेधी फल :

कोणतेही फल f: A → B आच्छादक फल असल्याचे म्हटले जाते जर B मधील प्रत्येक घटकाची A मध्ये किमान एक पूर्व-प्रतिमा असते.

म्हणजे, जर फल व्याप्‍तिसंच​ f = f फलाचे सह-अधिक्षेत्र आहे तर f आच्छादक फल आहे.

गणना:

दिलेल्याप्रमाणे: f: N → N हे फल आहे जसे f(x) = x2 

समजा x₁, x₂ ∈ N

⇒ f(x₁) = x₁² आणि f(x₂) = x₂²

जर f(x1) = f(x2) तर x₁ = x₂ ∵ x1, x2 ∈ N

म्हणून, दिलेले फल हे एक-एक फल आहे.

समजा y = f(x) = x2 

⇒ x = ± √y ∉ N

म्हणून, दिलेले फल हे अंतःक्षेपी फल आहे

म्हणून, दिलेले फल हे एक-एक आणि अंतःक्षेपी फल आहे.

संकल्पना:

कोणत्याही दोन रिकाम्या नसलेल्या संच A आणि B, A आणि B चे संबंध R शी हे कार्टेशियन गुणक A x B चा उपसंच आहे.

परावर्तीय:

R ला रिकाम्या नसलेल्या संच A शी नाते समजा, जर A चा प्रत्येक घटक स्वतःशी संबंधित असेल तर R ला परावर्तीय नाते असे म्हटले जाते.

अशाप्रकारे जर आणि फक्त जर (a, a) ∈ R, ∀ a ∈ A तर R हा परावर्तीय आहे.

सममितीय:

रिकाम्या नसलेल्या A संचावर R चा संबंध असुद्या, नंतर R ला सममितीय संबंध म्हंटले जाईल जर आणि फक्त जर (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R ∀ a, b ∈ A असेल तर.

संक्रमक:

R ला रिकाम्या नसलेल्या संच A शी नाते समजा, मग जर आणि फक्त जर  (a, b) ∈ R आणि (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R, ∀ a, b, c ∈ A असेल तर R संक्रमक संबंध म्हंटले जाईल.

समतुल्यता:

R ला रिकाम्या नसलेल्या संच A शी नाते समजा, नंतर R हे परावर्तीय, सममितीय आणि संक्रमक असल्यास R ला समतुल्य संबंध असे म्हंटले जाते.

गणना:

दिले आहे: X = {1, 2, 3, 4} आणि R हा X वरचा संबंध आहे R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1)}

परावर्तीय:

X वर दिलेला R हा परावर्तीय नाही ∵ (a, a) ∉ R, ∀ a ∈ X म्हणजे (4, 4) ∉ R.

सममितीय:

X वर दिलेला R हा सममितीय आहे.∵ सर्वांसाठी (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R ∀ a, b ∈ X.

संक्रमक:

संकल्पना:

सर्वात लहान पूर्णांक फल: (सीलिंग फल)

फल f(x) = [x] ला सर्वात लहान पूर्णांक फल असे म्हणतात आणि [x] चे मूल्य नेहमी अंतर्गत फलापेक्षा कमी किंवा समान असेल.

⇒ [x] ≤ x.

जर f :A → B आणि g : C → D. तर (fog) (x) अस्तित्वात असेल जर आणि फक्त जर f चे डोमेन म्हणजेच D = A = g चे सह-डोमेन असेल आणि (gof) (x) अस्तित्वात असेल जर आणि फक्त जर f चे सह-डोमेन = g चे डोमेन म्हणजेच B = C असेल.

गणना:

दिलेले आहे: f(x) = [x] आहे, जेथे [.] हे सर्वात लहान पूर्णांक फल दर्शवत आहे आणि g(x) = 5x आहे

येथे, आपल्याला g o f(1/2) चे मूल्य शोधायचे आहे.

⇒ g o f(1/2) = g( f(1/2))

∵ f(x) = [x] तर, f(1/2) =  [1/2] ≤ 0.5 = 0 

⇒ g o f(1/2) = g(0)

∵ g(x) = 5^x so, g(0) = 5⁰ = 1

म्हणून, g o f(1/2) = 1